Download e-book for kindle: Algèbre: Chapitre 8 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

ISBN-10: 3540353151

ISBN-13: 9783540353157

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3 résulte alors du cor. 1 de E, III, p. 21. Corollaire 1. — Soit M un A-module de type fini non nul. Il existe un idéal bilatère a de A, annulateur d’un A-module simple, tel que aM soit distinct de M. Soit N un sous-module maximal de M (prop. 3) et soit a l’annulateur du Amodule simple M/N ; c’est un idéal bilatère de A et l’on a a(M/N) = 0, d’où aM ⊂ N et par suite aM = M. Corollaire 2. — Soient A un anneau commutatif et B une A-algèbre. Soit M un B-module simple qui est un A-module de type fini et soit m l’annulateur du A-module M.

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur un corps commutatif K et soit K une extension de K. Soient u un endomorphisme de E, v un endomorphisme de F, u(K ) et v(K ) les endomorphismes de E(K ) et F(K ) qu’on en déduit par extension des scalaires. Il résulte des corollaires 1 et 2 de VII, p. 32 que les endomorphismes u et v sont semblables si et seulement si les endomorphismes u(K ) et v(K ) le sont. Cela résulte aussi du théorème 3 ci-dessus, appliqué à l’algèbre A = K[X] et aux A-modules M = Eu et N = Fv (VII, p.

Alors les A-modules M et N sont isomorphes. a) Supposons d’abord que l’algèbre K soit de degré fini d sur K. Alors le Amodule M(K ) est isomorphe à Md et le A-module N(K ) à Nd , de sorte que les Amodules Md et Nd sont isomorphes. D’après le th. 2, d) , les A-modules M et N sont isomorphes. b) Supposons maintenant que la K-algèbre K soit engendrée par un nombre fini d’éléments. Choisissons un idéal maximal m de K et posons K = K /m. En vertu du théorème des zéros de Hilbert (VIII, p. 451, cor. 1 du th.

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by David
4.0

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