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By Antoine Chambert-Loir

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Par suite, cette relation d’équivalence est moins fine que la relation ∼ et il existe une application φ ∶ F(S) → A telle que φ(p(m)) = φ′ (m) pour tout m ∈ M′ (S). L’application φ est un morphisme de magmas et vérifie φ(e) = e ; c’est donc un morphisme de groupes. Comme j(S) engendre le groupe F(S), deux morphismes de groupes de F(S) dans A qui coïncident sur S sont égaux, si bien que tout morphisme de groupes ψ ∶ F(S) → A tel que ψ ○ j = f est égal à φ. 5. — Pour mieux appréhender le groupe F(S), il est important de comprendre à quelle condition deux mots de M′ (S) ont même image dans F(S).

M n ))g((m1′ , . . , m′n )) = x1m1 . . x nm n x1 1 . . x n n m 1 +m′1 = x1 m +m′n . . xn n = g((m1 + m1′ , . . , m n + m′n )). On a finalement f¯ ○ g(m1 , . . , m n ) = f¯(x1m1 . . x nm n ) = f (s1m1 . . s nm n ) = ∑ m i e i = (m1 , . . , m n ), donc f¯ ○ g = id. De plus, g( f¯(x i )) = g(e i ) = x i pour tout i. Comme {x1 , . . , x n } engendre G(S; R), on a donc g ○ f¯ = id. Cela conclut la preuve que f¯ est un isomorphisme de G(S; R) sur Zn . 11) (Coproduit d’une famille de groupes) Soit (Ai )i∈I une famille de groupes.

Ainsi, f (A) est un sous-groupe de B. 30 CHAPITRE 2. GROUPES b) On a f (eA ) = eB ∈ B′ , donc eA ∈ f −1 (B′ ). Soit a, b ∈ f −1 (B′ ) ; on a f (a), f (b) ∈ B′ , donc f (ab) = f (a) f (b) ∈ B′ si bien que ab ∈ f −1 (B′ ). Cela prouve que f −1 (B′ ) est un sous-monoïde de A. Supposons que A et B soient des groupes et que B′ soit un sous-groupe de B ; si a ∈ f −1 (B′ ), on a f (a) ∈ B′ donc f (a−1 ) = f (a)−1 ∈ B′ . Cela prouve que f −1 (B′ ) est un sous-groupe de A. c) Comme f (eA ) = g(eA ) = eB , on a eA ∈ Ker( f , g).

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by Daniel
4.2

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